Problématique;
Comment sont formés les cristaux ? Étude de cas : les cristaux de protéine.
TPE Cristaux
C. Rotations et symétries
Nous avons vu que la forme ou la structure d’un cristal permet de classer ce dernier dans les systèmes cristallins. Les éléments de symétries ont aussi une grande importance dans ce classement. Il existe trois éléments de symétrie principaux : plan, axe et centre. Ils s’organisent dans deux catégories d’opérations de symétrie : orientation et position. Les éléments de symétrie d'orientation permettent de décrire la géométrie du polyèdre caractéristique d’un des 7 systèmes cristallins constituant le cristal macroscopique. Les éléments de symétrie de position décrivent la structure périodique du milieu cristallin microscopique.
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Les éléments de symétrie d’orientation
Symétrie par rapport à un plan ou réflexion
Un plan de symétrie partage le cristal en deux parties réfléchies par rapport à ce plan. Elles sont ainsi le miroir l’une de l’autre.
Axe de rotation et symétrie centrale
Définition mathématique de la rotation : Soit D un point quelconque et m une droite. On trace le plan perpendiculaire à m et passant par D. A est le point d’intersection du plan et de l’axe m.
Pour réaliser la rotation de D d’axe m de 60°, on trace le segment [AD], puis le cercle de centre A et de rayon [AD]. Il faut alors tracer l’angle DAD’ de 60°. On obtient D’.
Un axe de rotation est un axe autour duquel on fait pivoter le cristal. Lorsque le cristal effectue un tour de 360° il est reproduit 2, 3, 4 ou 6 fois autour de cet axe. Ces axes sont donc d’ordre 2 (rotation de 180°, qui correspond à une symétrie par rapport à un axe), d’ordre 3 (120°), d’ordre 4 (90°) et d’ordre 6 (60°). Dans le cube, il existe des axes d’ordre 2, 3 et 4.
Il existe 6 axes d’ordre 2 dans un cube. Ce sont ceux qui passent par le milieu d’une arrête et de l’arrête opposée. La rotation effectuée est alors de 180°.
Il existe 4 axes d’ordre 3 dans un cube. Ce sont ceux qui passent par le sommet du cube et son sommet opposé. La rotation effectuée est alors de 120°.
Il existe 3 axes d’ordre 4 dans un cube. Ce sont ceux qui passent par le centre d’une face et celui de la face opposée. La rotation effectuée est alors de 90°.
La symétrie centrale : l’image d’un point A par la symétrie de centre O est le point A’ tel que O est le milieu du segment [AA’].
En cristallographie, cela correspond à l’association d’une rotation autour d’un axe et d’une inversion par rapport à un centre.
En résumé, on distingue 4 éléments de symétrie d'orientation
- Le plan de symétrie ou miroir (réflexion par rapport à un plan),
- Centre de symétrie (inversion par rapport à un point),
- Axe de rotation ou axe direct (rotation autour de l’axe),
- Axe d’inversion (rotation autour de l’axe suivie d’une inversion par rapport à un centre situé sur l’axe).
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Les éléments de symétrie de position
Les axes hélicoïdaux allient une rotation autour d’un axe direct à une translation de vecteur parallèle à l’axe.
Les plans de glissement assemblent une réflexion par rapport à un plan de symétrie et une translation parallèle à ce plan.
On peut comparer la symétrie des cristaux à celle des polyèdres avec les éléments de symétrie d’orientation. Les différentes associations de ces éléments permettent de construire les 7 systèmes cristallins caractérisés par des polyèdres différents.
Image que nous avons réalisée avec Geogebra.
Axe d'ordre 2
Axe d'ordre 3
Axe d'ordre 4
Image que nous avons réalisée avec Geogebra.